Pesquisar este blog

Páginas

quinta-feira, 26 de agosto de 2010

GEOMETRIA ANALÍTICA

GEOMETRIA ANALITICA
A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna.
Por aquilo que dela é ensinado nos livros escolares, pode-se explicar a geometria analítica de uma forma mais simples: a disciplina procura definir formas geométricas de modo numérico e extrair informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vetor ou uma forma.
René Descartes criou as fundações para os métodos da geometria analítica em 1637 no apêndice intitulado Geometria do seu Discurso do Método. Este livro e os seus princípios filosóficos criaram as fundações para o cálculo, que foi mais tarde introduzido independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.


Exemplo:
Ao par ordenado de números reais:
(0,0) está associado o ponto O (origem);
(3,2) está associado ao ponto A;
(− 1, 4) está associado o ponto B;
(−2,−3) está associado
o ponto C;
(2, − 1) está associado o ponto D.


Considerando o ponto A(3, 2), dizemos que o número 3 é a coordenada x ou abscissa do ponto A, e o número 2 é a coordenada y ou a ordenada do ponto A.
Observações:
1. Os eixos x e y chamam-se eixos coordenados e dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes cuja identificação é feita conforme a figura.

O sinal positivo ou negativo da abscissa e da ordenada varia de acordo com o quadrante.
2. Se o ponto P pertence ao eixo x, suas coordenadas são (a, 0), com a ε  .
3. Se o ponto P pertence ao eixo y, suas coordenadas são (0, b), com b ε  .

EXERCÍCIOS
05) Determine as coordenadas dos pontos indicados na figura e de seus simétricos:



Resolução:
A(2;5) B(5;2) C(-4;3) D(-1;-6) E(3;-4)

Simétricos:

A’(-2;5) B’(-5;2) C’(4;3) D’(1;-6) E’(-3;-4)






02. Sabendo que P(2m+ 1, – 3m – 4) pertence ao 3º quadrante, determine os possíveis valores reais de m.
Resolução:
Para o valor da coordenada x, temos:

Para o valor da coordenada y temos:

Sendo assim temos:




AULA 34 – DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

1º Caso: O segmento AB é paralelo ao eixo Ox.




2º Caso: O segmento AB é paralelo ao eixo Ou.

3º Caso: O segmento AB não é paralelo a nenhum dos eixos.
Dados dois pontos, A e B, a distância entre eles, que será indicada por dAB, é a medida do segmento de extremidades A e B.
dAB distância entre os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) depende das coordenadas dos mesmos, e é determinado através do Teorema de Pitágoras. Veja:


EXERCÍCIOS

03. Calcule a distância entre os pontos dados:
a) A(3, 7) e B(– 1, 4)
b) P(3, – 1) e Q(3, 2)
c) A(0, – 2) e B( 5 ,– 4)

Resolução:



04. Determinar o perímetro do triângulo cujos vértices A, B e C têm as seguintes coordenadas: A(1, 5), B(–2, 1) e C(4, 1).

Resolução:





p=5+5+6= 16
05 Sabendo que o ponto P pertence ao eixo das abscissas (Ox) e está eqüidistante dos pontos A(4, 2) e B(8, –2), determinar suas coordenadas.

Resolução:


O ponto P tem coordenadas(6;0)

06. Na figura abaixo os pontos A, B, C e D representam a localização de quatro alunos do 2ª EM A : Danilo, Diego, Sayuri e Vitor respectivamente, onde suas distâncias são medidas em metros. Nessas condições, determine a distância entre Sayuri e Vitor. Sabendo-se que Sayuri está eqüidistante de Danilo e Diego.


Resolução:

A distância entre os pontos C(-4;0) e D(0;0) pode ser determinada por:






AULA 35 – COORDENADAS DO PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO.

Dado um segmento de reta AB tal que A(x1, y1) e B(x2, y2) são pontos distintos, temos um ponto M(xM, yM) médio do segmento.


As coordenadas do ponto médio são dadas por:



COORDENADAS DO BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO

Em triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) no plano cartesiano, as coordenadas do baricentro, xG e yG, são:


EXERCÍCIOS

07. Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento AB, em cada caso:
a) A(2,1) e B(0, 6)
b) A(5, 6) e B(- 6, - 8)
c) A(7, -1) e B(4, -4)

Resolução:


08. Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(– 2, – 2). Sabendo-se que M(3, – 2) é o ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B(x, y), que é a outra extremidade do segmento.

Resolução:



09. Determine as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, sendo A(5, 2), B(1, -2) e C(4, 5).

Resolução:



AULA 36 – CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

Dados três pontos no plano cartesiano A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), podemos verificar se os mesmos estão alinhados através do seguinte determinante:

• Se Δ = 0, então os pontos estão alinhados;
• Se Δ ≠ 0, então os pontos não estão alinhados. Quando os pontos não estão alinhados eles formam um triângulo.















EXERCÍCIOS
10. Verifique se os pontos, dados abaixo, estão alinhados:
a) A(– 1, 3); B(2, 4) e C(– 4, 10)
Resolução:



b) A(0, 2); B(– 3, 1) e C(4, 5)
Resolução:




11. (PUC-MG) Calcule o valor de t sabendo que os pontos , e C(−1, 6) são colineares.
Resolução:



AULA 36 –ÁREA DE UM TRIÂNGULO

Podemos determinar a área de uma região triangular utilizando apenas as coordenadas dos vértices do triângulo.


A área do triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) é dado por:

ÁREA DE UM POLÍGONO CONVEXO

A área de um polígono convexo qualquer pode ser obtida dividindo-o em triângulos distintos e, a seguir calculando-se a soma das áreas desses triângulos.

EXERCÍCIOS

12.Determine a área da região triangular cujos vértices são os pontos A(1, 2); B(– 2, 4) e C(4, – 2).
Resolução:


13.Calcule a área do triângulo da figura:



Resolução:



14.Determine o valor de x para que os pontos A(2,- 3), B(x, 7) e C(x, 1) sejam:
a) Colineares
Resolução:



b) os vértices de um triângulo.
Resolução:
Para que sejam os vértices de um triângulo o determinante deve ser diferente de 0, sendo assim x ≠ 2.

15.O terreno do Sr. Ivo tem a forma triangular, e seus vértices no sistema cartesiano são dados pelos pontos P(2 ,6), Q(-3, 9) e W(0, 10). Sabendo que as medidas do terreno são em metros e o metro quadrado do terreno custa R$ 12,00. Qual o preço do terreno?
Resolução:






16. Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a, 0). Determine o valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área.

Resolução:

A área S1 do quadrilátero ABCD

A área S2 do triângulo CHB é:

Se a cerca reta perpendicular ao lado AB divide ABCD em dois lotes de áreas iguais, então a cerca reta está à direita do ponto C e origina dois lotes de área 4 cada um, conforme a figura:


A área do triângulo isósceles EPB é 4.Logo


AULA 37- EQUAÇÃO GERAL DA RETA.

Podemos calcular a equação de uma reta partindo de dois de seus pontos e utilizando a condição de alinhamento de três pontos vista anteriormente.
Portanto, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) com coordenadas conhecidas e um terceiro ponto P(x,y) genérico, temos:


Desenvolvendo este dispositivo, temos a equação geral da reta da forma:
ax +by+c = 0

EXERCÍCIOS

17. (Fuvest-SP) Dados os pontos A(2, 3) e B(8, 5), determine a equação da reta que passa por eles.
Resolução:



18.. (Mack-SP) Qual a equação da reta r da figura?


Resolução:


19.Se um triângulo tem como vértices os pontos A(2, 3); B(4, 1) e C(6, 7), determine uma equação geral da reta suporte da mediana relativa ao lado .
Resolução:




20. Uma formiga se desloca num plano, ao longo de uma reta. Passa pelo ponto (1, –2) e percorre a menor distância até interceptar a trajetória retilínea de outra formiga, nesse mesmo plano, descrita pela equação y + 2x = 8.
Determine a equação da reta que representa a trajetória da primeira formiga .

Resolução:

A menor distância entre um ponto e uma reta está sobre a perpendicular a esta reta que passa pelo ponto. O coeficiente angular de ma reta perpendicular a outra reta de coeficiente angular m, é -1/m. Assim:
y=-2x+8.....m=-2
então a reta perpendicular deve ter coeficiente angular igual a :
-1/m=1/2

Reta que passa por (1,-2) com coef ang igual ½:










Exercícios Resolvidos

Aula 34 – Ex. 03 e 04 – ág 04
03) Determinar o ponto P do eixo das abcissas, eqüidistante dos pontos A(6;5) e B(-2;3)

04) dados A(x;6); B(-1;4) e C(5;2) determinar o valor de x de modo que o triângulo ABC seja isósceles de base BC.

Aula 35 – Ex. 05 – ág 06
05) Determine a medida da mediana relativa ao vértice A do triângulo ABC , sendo A(4;6), B(5;1) e C(1;3).








Aula 36 – Ex. 03, 04 e 05 – ág 07
03) Dados A(x;2), B(3;1) e C(-1; -2), determinar o valor de x, sabendo que a área do triângulo ABC é igual a 4.

04)Verificar se os pontos a(-2;-3), B(1;2) e C(5;4) estão alinhados.


05) Para que valores de m, os pontos A(0;m), B(-2;4) e C(1; -3) estão alinhados?

6 comentários:

  1. Este comentário foi removido pelo autor.

    ResponderExcluir
  2. E. E. Manoel Ferreira de Lima
    Aluno; kadu (carlo eduardo) nº 06
    1ºb

    René Descartes criou as fundações para os métodos da geometria analítica em 1637 no apêndice intitulado Geometria do seu Discurso do Método. Este livro e os seus princípios filosóficos criaram as fundações para o cálculo, que foi mais tarde introduzido independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.

    ResponderExcluir
  3. E.E PADRE CONSTANTINO DE MONTE
    ALUNO: TAISON G. ROMEIRO
    N°:39
    SÉRIE :3°ANO A
    PERÍODO: MATUTINO

    a geometria analítica pensada por Descartes seria uma tradução das operações algébricas em linguagem geométrica, e a essa nova forma de proceder segue uma enorme crença do autor no novo método como uma forma organizada e clara de resolver problemas de natureza geométrica.
    Primeira etapa: determinar a equação da reta que passa pelos pontos A e B.

    Segunda etapa: encontrar o coeficiente angular de uma reta perpendicular à reta que passa por A e B.

    Terceira etapa: determinar a equação da reta que passa por C e tem o coeficiente angular igual ao encontrado na segundo etapa.

    Quarta etapa: encontrar o ponto P de intersecção das retas da primeira e terceira etapas.

    Quinta etapa: calcular a distância entre os pontos P e C (a altura do triângulo).

    ResponderExcluir
  4. E.E. Padre Constantino de Monte
    Alunos : Asafe Silva ;* N° : 02
    Arno Rickli Júnior :D N° : 01

    As atividades do professor Joquinha , estão muito bem criativas , na qual a gente aprende na prática e na teoria cálculos matemáticos , e por essa criatividade podemos relacionar a matemática no nosso cotidiano .

    ResponderExcluir
  5. E.E.Padre Constantino de Monte
    Aluno: Marco Antonio Beltramin
    nº:52 3°A
    Profº: Joca ( José Carlos )

    Os exercicios de geometria analitica fixaram melhor meu entendimento sobre a matemtica atraves deles q eu pude ver o quanto é bom fazer atividades em sala. Elas te deixam a entender melhor sobre o conhecimento da materia q esta sendo explicada.o professor joca tamben é muito bom na sua materia nao é atoa q é pos graduado ele conceque passar com maior clareza a materia. geometria analitica é de dificil entendimento mas ele conseguiu atraves dos exercicoos fazer com que os alunos e eu entendece melhor o conceito de geometria analitica.

    ResponderExcluir
  6. Escola Estadual Padre Constantino de Monte
    Aluno: Marco Antonio Beltramin
    n° 52 3°A

    sobretudo por seu trabalho revolucionário na filosofia e na ciência, mas também obteve reconhecimento matemático por sugerir a fusão da álgebra com a geometria - fato que gerou a geometria analítica e o sistema de coordenadas que hoje leva o seu nome. Por fim, ele foi uma das figuras-chave na Revolução Científica.

    ResponderExcluir