ESCOLA ESTADUAL:__________________________________
ÁREA DE CONHECIMENTO: MATEMÁTICA
PROFº : José Carlos Costa da Rosa DATA_____/____
NOME_________________________No__ 3o A Matutino
1. Dados A ( – 1, 2 ) , B ( 4 , 2 ) e C ( 4 , 4 ) , pede-se:
a) as coordenadas do baricentro
b) Verificar se os pontos estão alinhados
c) Classificar quantos aos lados o triângulo que apresenta os pontos A , B e C, como vértice .
d)Determine o perímetro do triângulo.
e) Determine a equação geral da reta dos A e B, B e C e A e C
f) Determine as equações reduzidas das reta do item anterior
2. Determinar o perímetro de um triângulo de vértices A ( 6; 5 ) B ( 3 ; 2 ) e C ( 4 ; 7 ).
3.Conhecendo – se a equação geral da reta (r) 3x - 6y - 15 = 0, obter.:
a) a equação reduzida
b) o coeficiente linear
c) o coeficiente angular
4. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, conhecendo –se:
a) A(3,5) e B(-1,3)
b) A(0,-4) e B(5,1)
5.Conhecendo – se a equação geral da reta (r) -2x - 6y - 14 = 0, obter.:
a) a equação reduzida
b) o coeficiente linear
c) o coeficiente angular
terça-feira, 31 de agosto de 2010
FUNÇÃO EXPONENCIAL II
Henry Briggs
Henry Briggs, nasceu em 1561, perto de Halifax. Estudou na Universidade de Cambrige e formou-se em1581. Continuou a estudar e obteve o doutoramento em 1588.
Foi professor, da disciplina de geometria, na Universidade de Saint-Andrews e mais tarde em Oxford. Nesta última, iniciou as lições com a nona proposição do primeiro livro de Euclides.
Dados os precedentes da Universidade de Oxford, encontrou-se ligado à astronomia e à trigonometria esférica.
Foi o primeiro a reconhecer a importância da invenção dos logaritmos por Napier, tendo estabelecido contacto com o mesmo para uma troca de ideias. Depois de John Napier morrer, continuou a estudar os logaritmos e a desenvolver esta teoria, fazendo muitas aplicações na área da astronomia.
Em 1617, publicou um livro intitulado "Logarithmorum chilias prima" e seis anos mais tarde publicou "Arithmetica Logarithmica".
Em paralelo a estes estudos continuou a leccionar geometria até à sua morte a 26 de janeiro de 1631.
Henry Briggs, nasceu em 1561, perto de Halifax. Estudou na Universidade de Cambrige e formou-se em1581. Continuou a estudar e obteve o doutoramento em 1588.
Foi professor, da disciplina de geometria, na Universidade de Saint-Andrews e mais tarde em Oxford. Nesta última, iniciou as lições com a nona proposição do primeiro livro de Euclides.
Dados os precedentes da Universidade de Oxford, encontrou-se ligado à astronomia e à trigonometria esférica.
Foi o primeiro a reconhecer a importância da invenção dos logaritmos por Napier, tendo estabelecido contacto com o mesmo para uma troca de ideias. Depois de John Napier morrer, continuou a estudar os logaritmos e a desenvolver esta teoria, fazendo muitas aplicações na área da astronomia.
Em 1617, publicou um livro intitulado "Logarithmorum chilias prima" e seis anos mais tarde publicou "Arithmetica Logarithmica".
Em paralelo a estes estudos continuou a leccionar geometria até à sua morte a 26 de janeiro de 1631.
FUNÇÃO EXPONENCIAL
John Napier
John Napier (Edimburgo, 1550 – 4 de abril de 1617) foi também matemático, astrólogo e teólogo escocês.
Ele é mais conhecido como o descodificador do logaritmo natural (ou neperiano) e por ter popularizado o ponto decimal. Na decodoficação dos logaritmos naturais, Napier usou uma constante que, embora não a tenha descrito, foi a primeira referência ao notável "e", descrito quase 100 anos depois por Leonhard Euler e que se tornou conhecido como número de Euler ou número de Napier.
Originário de uma família rica, ele mesmo barão de Merchiston, era um defensor da reforma protestante, tendo mesmo prevenido o rei James VI da Escócia contra os interesses do rei católico Felipe II de Espanha. Filho de Archibald Napier, Master of the Mint, John Napier nasceu em Merchiston Tower, perto de Edinburgo, em 1550. A maior parte das terras da família Napier ficaram sob os cuidados de John, que construiu para si um castelo, no qual ele e sua família fixaram residência.
Ingressou aos 13 anos na Universidade de Saint Andrews e interessou-se por teologia e aritmética. Sua única obra de teologia, escrita em 1594, ocupa lugar de destaque na história eclesiástica escocesa. Napier também se dedicou à invenção de artefatos secretos de guerra, inclusive uma peça de artilharia de longo alcance, que ficaram apenas no papel. Foi como matemático, porém, que Napier mais se destacou. Sua mais notável realização foi a descoberta dos logaritmos, artifício que simplificou os cálculos aritméticos e assentou as bases para a formulação de princípios fundamentais da análise combinatória.
Está enterrado na igreja de Saint Cuthbert, em Edimburgo. Uma unidade utilizada em telecomunicações, o neper, tem este nome em sua homenagem.
No início do século XVII, inventou um dispositivo chamado Ossos de Napier que são tabelas de multiplicação gravadas em bastão, permitindo multiplicar e dividir de forma automática, o que evitava a memorização da tabuada, e que trouxe grande auxílio ao uso de logaritmos, em execução de operações aritméticas como multiplicações e divisões longas.
Idealizou também um calculador com cartões que permitia a realização de multiplicações, que recebeu o nome de Estruturas de Napier.
John Napier (Edimburgo, 1550 – 4 de abril de 1617) foi também matemático, astrólogo e teólogo escocês.
Ele é mais conhecido como o descodificador do logaritmo natural (ou neperiano) e por ter popularizado o ponto decimal. Na decodoficação dos logaritmos naturais, Napier usou uma constante que, embora não a tenha descrito, foi a primeira referência ao notável "e", descrito quase 100 anos depois por Leonhard Euler e que se tornou conhecido como número de Euler ou número de Napier.
Originário de uma família rica, ele mesmo barão de Merchiston, era um defensor da reforma protestante, tendo mesmo prevenido o rei James VI da Escócia contra os interesses do rei católico Felipe II de Espanha. Filho de Archibald Napier, Master of the Mint, John Napier nasceu em Merchiston Tower, perto de Edinburgo, em 1550. A maior parte das terras da família Napier ficaram sob os cuidados de John, que construiu para si um castelo, no qual ele e sua família fixaram residência.
Ingressou aos 13 anos na Universidade de Saint Andrews e interessou-se por teologia e aritmética. Sua única obra de teologia, escrita em 1594, ocupa lugar de destaque na história eclesiástica escocesa. Napier também se dedicou à invenção de artefatos secretos de guerra, inclusive uma peça de artilharia de longo alcance, que ficaram apenas no papel. Foi como matemático, porém, que Napier mais se destacou. Sua mais notável realização foi a descoberta dos logaritmos, artifício que simplificou os cálculos aritméticos e assentou as bases para a formulação de princípios fundamentais da análise combinatória.
Está enterrado na igreja de Saint Cuthbert, em Edimburgo. Uma unidade utilizada em telecomunicações, o neper, tem este nome em sua homenagem.
No início do século XVII, inventou um dispositivo chamado Ossos de Napier que são tabelas de multiplicação gravadas em bastão, permitindo multiplicar e dividir de forma automática, o que evitava a memorização da tabuada, e que trouxe grande auxílio ao uso de logaritmos, em execução de operações aritméticas como multiplicações e divisões longas.
Idealizou também um calculador com cartões que permitia a realização de multiplicações, que recebeu o nome de Estruturas de Napier.
Surgimento da Teoria das matrizes
1.- Curiosidades em torno do nome matriz
O pai do nome matriz
Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e sairam da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826 : tableau ( = tabela ).
O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade.
Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes ?
Usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja: local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar varios sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolhar à vontade p linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363-370 ).
Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância.
2.- Surgimento dos primeiros resultados da Teoria das Matrizes
Costuma-se dizer que um primeiro curso de Teoria das Matrizes - ou de sua versão mais abstrata, a Algebra Linear - deve ir no mínimo até o Teorema Espectral. Pois bem, esse teorema e toda uma série de resultados auxiliares já eram conhecidos antes de Cayley iniciar a estudar as matrizes como uma classe notável de objetos matemáticos.
Como se explica isso? Esses resultados, bem como a maioria dos resultados básicos da Teoria da Matrizes, foram descobertos quando os matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, consideramos imprescindível estudar essas formas através da notacão e metodologia matricial, mas naquela época elas eram tratadas escalarmente.
Mostremos aqui a representação de uma forma quadrática de duas variáveis, tanto via notação escalar como com a mais moderna notação matricial:
q( x , y ) = a x 2 + 2b x y + c y 2 = x y . a b . x
b c y
O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange c. 1790 reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Sempre trabalhando escalarmente, ele chegou à uma conclusão que hoje expressamos em termos de matriz positiva definida. Após Lagrange, já no século XIX, a Teoria das Formas Quadráticas chegou a ser um dos assuntos mais importantes em termos de pesquisas, principalmente no que toca ao estudo de seus invariantes. Essas investigações tiveram como subproduto a descoberta de uma grande quantidade de resultados e conceitos básicos de matrizes.
Assim que podemos dizer que a Teoria das Matrizes teve como mãe a Teoria das Formas Quadráticas, pois que seus métodos e resultados básicos foram lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes.
Observemos, ademais, que os determinantes em nada contribuiram para o desenvolvimento da Teoria das Matrizes.
O pai do nome matriz
Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e sairam da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826 : tableau ( = tabela ).
O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade.
Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes ?
Usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja: local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar varios sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolhar à vontade p linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363-370 ).
Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância.
2.- Surgimento dos primeiros resultados da Teoria das Matrizes
Costuma-se dizer que um primeiro curso de Teoria das Matrizes - ou de sua versão mais abstrata, a Algebra Linear - deve ir no mínimo até o Teorema Espectral. Pois bem, esse teorema e toda uma série de resultados auxiliares já eram conhecidos antes de Cayley iniciar a estudar as matrizes como uma classe notável de objetos matemáticos.
Como se explica isso? Esses resultados, bem como a maioria dos resultados básicos da Teoria da Matrizes, foram descobertos quando os matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, consideramos imprescindível estudar essas formas através da notacão e metodologia matricial, mas naquela época elas eram tratadas escalarmente.
Mostremos aqui a representação de uma forma quadrática de duas variáveis, tanto via notação escalar como com a mais moderna notação matricial:
q( x , y ) = a x 2 + 2b x y + c y 2 = x y . a b . x
b c y
O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange c. 1790 reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Sempre trabalhando escalarmente, ele chegou à uma conclusão que hoje expressamos em termos de matriz positiva definida. Após Lagrange, já no século XIX, a Teoria das Formas Quadráticas chegou a ser um dos assuntos mais importantes em termos de pesquisas, principalmente no que toca ao estudo de seus invariantes. Essas investigações tiveram como subproduto a descoberta de uma grande quantidade de resultados e conceitos básicos de matrizes.
Assim que podemos dizer que a Teoria das Matrizes teve como mãe a Teoria das Formas Quadráticas, pois que seus métodos e resultados básicos foram lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes.
Observemos, ademais, que os determinantes em nada contribuiram para o desenvolvimento da Teoria das Matrizes.
quinta-feira, 26 de agosto de 2010
GEOMETRIA ANALÍTICA
GEOMETRIA ANALITICA
A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna.
Por aquilo que dela é ensinado nos livros escolares, pode-se explicar a geometria analítica de uma forma mais simples: a disciplina procura definir formas geométricas de modo numérico e extrair informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vetor ou uma forma.
René Descartes criou as fundações para os métodos da geometria analítica em 1637 no apêndice intitulado Geometria do seu Discurso do Método. Este livro e os seus princípios filosóficos criaram as fundações para o cálculo, que foi mais tarde introduzido independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.
Exemplo:
Ao par ordenado de números reais:
(0,0) está associado o ponto O (origem);
(3,2) está associado ao ponto A;
(− 1, 4) está associado o ponto B;
(−2,−3) está associado
o ponto C;
(2, − 1) está associado o ponto D.
Considerando o ponto A(3, 2), dizemos que o número 3 é a coordenada x ou abscissa do ponto A, e o número 2 é a coordenada y ou a ordenada do ponto A.
Observações:
1. Os eixos x e y chamam-se eixos coordenados e dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes cuja identificação é feita conforme a figura.
O sinal positivo ou negativo da abscissa e da ordenada varia de acordo com o quadrante.
2. Se o ponto P pertence ao eixo x, suas coordenadas são (a, 0), com a ε .
3. Se o ponto P pertence ao eixo y, suas coordenadas são (0, b), com b ε .
EXERCÍCIOS
05) Determine as coordenadas dos pontos indicados na figura e de seus simétricos:
Resolução:
A(2;5) B(5;2) C(-4;3) D(-1;-6) E(3;-4)
Simétricos:
A’(-2;5) B’(-5;2) C’(4;3) D’(1;-6) E’(-3;-4)
02. Sabendo que P(2m+ 1, – 3m – 4) pertence ao 3º quadrante, determine os possíveis valores reais de m.
Resolução:
Para o valor da coordenada x, temos:
Para o valor da coordenada y temos:
Sendo assim temos:
AULA 34 – DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
1º Caso: O segmento AB é paralelo ao eixo Ox.
2º Caso: O segmento AB é paralelo ao eixo Ou.
3º Caso: O segmento AB não é paralelo a nenhum dos eixos.
Dados dois pontos, A e B, a distância entre eles, que será indicada por dAB, é a medida do segmento de extremidades A e B.
dAB distância entre os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) depende das coordenadas dos mesmos, e é determinado através do Teorema de Pitágoras. Veja:
EXERCÍCIOS
03. Calcule a distância entre os pontos dados:
a) A(3, 7) e B(– 1, 4)
b) P(3, – 1) e Q(3, 2)
c) A(0, – 2) e B( 5 ,– 4)
Resolução:
04. Determinar o perímetro do triângulo cujos vértices A, B e C têm as seguintes coordenadas: A(1, 5), B(–2, 1) e C(4, 1).
Resolução:
p=5+5+6= 16
05 Sabendo que o ponto P pertence ao eixo das abscissas (Ox) e está eqüidistante dos pontos A(4, 2) e B(8, –2), determinar suas coordenadas.
Resolução:
O ponto P tem coordenadas(6;0)
06. Na figura abaixo os pontos A, B, C e D representam a localização de quatro alunos do 2ª EM A : Danilo, Diego, Sayuri e Vitor respectivamente, onde suas distâncias são medidas em metros. Nessas condições, determine a distância entre Sayuri e Vitor. Sabendo-se que Sayuri está eqüidistante de Danilo e Diego.
Resolução:
A distância entre os pontos C(-4;0) e D(0;0) pode ser determinada por:
AULA 35 – COORDENADAS DO PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO.
Dado um segmento de reta AB tal que A(x1, y1) e B(x2, y2) são pontos distintos, temos um ponto M(xM, yM) médio do segmento.
As coordenadas do ponto médio são dadas por:
COORDENADAS DO BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO
Em triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) no plano cartesiano, as coordenadas do baricentro, xG e yG, são:
EXERCÍCIOS
07. Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento AB, em cada caso:
a) A(2,1) e B(0, 6)
b) A(5, 6) e B(- 6, - 8)
c) A(7, -1) e B(4, -4)
Resolução:
08. Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(– 2, – 2). Sabendo-se que M(3, – 2) é o ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B(x, y), que é a outra extremidade do segmento.
Resolução:
09. Determine as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, sendo A(5, 2), B(1, -2) e C(4, 5).
Resolução:
AULA 36 – CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Dados três pontos no plano cartesiano A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), podemos verificar se os mesmos estão alinhados através do seguinte determinante:
• Se Δ = 0, então os pontos estão alinhados;
• Se Δ ≠ 0, então os pontos não estão alinhados. Quando os pontos não estão alinhados eles formam um triângulo.
EXERCÍCIOS
10. Verifique se os pontos, dados abaixo, estão alinhados:
a) A(– 1, 3); B(2, 4) e C(– 4, 10)
Resolução:
b) A(0, 2); B(– 3, 1) e C(4, 5)
Resolução:
11. (PUC-MG) Calcule o valor de t sabendo que os pontos , e C(−1, 6) são colineares.
Resolução:
AULA 36 –ÁREA DE UM TRIÂNGULO
Podemos determinar a área de uma região triangular utilizando apenas as coordenadas dos vértices do triângulo.
A área do triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) é dado por:
ÁREA DE UM POLÍGONO CONVEXO
A área de um polígono convexo qualquer pode ser obtida dividindo-o em triângulos distintos e, a seguir calculando-se a soma das áreas desses triângulos.
EXERCÍCIOS
12.Determine a área da região triangular cujos vértices são os pontos A(1, 2); B(– 2, 4) e C(4, – 2).
Resolução:
13.Calcule a área do triângulo da figura:
Resolução:
14.Determine o valor de x para que os pontos A(2,- 3), B(x, 7) e C(x, 1) sejam:
a) Colineares
Resolução:
b) os vértices de um triângulo.
Resolução:
Para que sejam os vértices de um triângulo o determinante deve ser diferente de 0, sendo assim x ≠ 2.
15.O terreno do Sr. Ivo tem a forma triangular, e seus vértices no sistema cartesiano são dados pelos pontos P(2 ,6), Q(-3, 9) e W(0, 10). Sabendo que as medidas do terreno são em metros e o metro quadrado do terreno custa R$ 12,00. Qual o preço do terreno?
Resolução:
16. Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a, 0). Determine o valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área.
Resolução:
A área S1 do quadrilátero ABCD
A área S2 do triângulo CHB é:
Se a cerca reta perpendicular ao lado AB divide ABCD em dois lotes de áreas iguais, então a cerca reta está à direita do ponto C e origina dois lotes de área 4 cada um, conforme a figura:
A área do triângulo isósceles EPB é 4.Logo
AULA 37- EQUAÇÃO GERAL DA RETA.
Podemos calcular a equação de uma reta partindo de dois de seus pontos e utilizando a condição de alinhamento de três pontos vista anteriormente.
Portanto, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) com coordenadas conhecidas e um terceiro ponto P(x,y) genérico, temos:
Desenvolvendo este dispositivo, temos a equação geral da reta da forma:
ax +by+c = 0
EXERCÍCIOS
17. (Fuvest-SP) Dados os pontos A(2, 3) e B(8, 5), determine a equação da reta que passa por eles.
Resolução:
18.. (Mack-SP) Qual a equação da reta r da figura?
Resolução:
19.Se um triângulo tem como vértices os pontos A(2, 3); B(4, 1) e C(6, 7), determine uma equação geral da reta suporte da mediana relativa ao lado .
Resolução:
20. Uma formiga se desloca num plano, ao longo de uma reta. Passa pelo ponto (1, –2) e percorre a menor distância até interceptar a trajetória retilínea de outra formiga, nesse mesmo plano, descrita pela equação y + 2x = 8.
Determine a equação da reta que representa a trajetória da primeira formiga .
Resolução:
A menor distância entre um ponto e uma reta está sobre a perpendicular a esta reta que passa pelo ponto. O coeficiente angular de ma reta perpendicular a outra reta de coeficiente angular m, é -1/m. Assim:
y=-2x+8.....m=-2
então a reta perpendicular deve ter coeficiente angular igual a :
-1/m=1/2
Reta que passa por (1,-2) com coef ang igual ½:
Exercícios Resolvidos
Aula 34 – Ex. 03 e 04 – ág 04
03) Determinar o ponto P do eixo das abcissas, eqüidistante dos pontos A(6;5) e B(-2;3)
04) dados A(x;6); B(-1;4) e C(5;2) determinar o valor de x de modo que o triângulo ABC seja isósceles de base BC.
Aula 35 – Ex. 05 – ág 06
05) Determine a medida da mediana relativa ao vértice A do triângulo ABC , sendo A(4;6), B(5;1) e C(1;3).
Aula 36 – Ex. 03, 04 e 05 – ág 07
03) Dados A(x;2), B(3;1) e C(-1; -2), determinar o valor de x, sabendo que a área do triângulo ABC é igual a 4.
04)Verificar se os pontos a(-2;-3), B(1;2) e C(5;4) estão alinhados.
05) Para que valores de m, os pontos A(0;m), B(-2;4) e C(1; -3) estão alinhados?
A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna.
Por aquilo que dela é ensinado nos livros escolares, pode-se explicar a geometria analítica de uma forma mais simples: a disciplina procura definir formas geométricas de modo numérico e extrair informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vetor ou uma forma.
René Descartes criou as fundações para os métodos da geometria analítica em 1637 no apêndice intitulado Geometria do seu Discurso do Método. Este livro e os seus princípios filosóficos criaram as fundações para o cálculo, que foi mais tarde introduzido independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.
Exemplo:
Ao par ordenado de números reais:
(0,0) está associado o ponto O (origem);
(3,2) está associado ao ponto A;
(− 1, 4) está associado o ponto B;
(−2,−3) está associado
o ponto C;
(2, − 1) está associado o ponto D.
Considerando o ponto A(3, 2), dizemos que o número 3 é a coordenada x ou abscissa do ponto A, e o número 2 é a coordenada y ou a ordenada do ponto A.
Observações:
1. Os eixos x e y chamam-se eixos coordenados e dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes cuja identificação é feita conforme a figura.
O sinal positivo ou negativo da abscissa e da ordenada varia de acordo com o quadrante.
2. Se o ponto P pertence ao eixo x, suas coordenadas são (a, 0), com a ε .
3. Se o ponto P pertence ao eixo y, suas coordenadas são (0, b), com b ε .
EXERCÍCIOS
05) Determine as coordenadas dos pontos indicados na figura e de seus simétricos:
Resolução:
A(2;5) B(5;2) C(-4;3) D(-1;-6) E(3;-4)
Simétricos:
A’(-2;5) B’(-5;2) C’(4;3) D’(1;-6) E’(-3;-4)
02. Sabendo que P(2m+ 1, – 3m – 4) pertence ao 3º quadrante, determine os possíveis valores reais de m.
Resolução:
Para o valor da coordenada x, temos:
Para o valor da coordenada y temos:
Sendo assim temos:
AULA 34 – DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
1º Caso: O segmento AB é paralelo ao eixo Ox.
2º Caso: O segmento AB é paralelo ao eixo Ou.
3º Caso: O segmento AB não é paralelo a nenhum dos eixos.
Dados dois pontos, A e B, a distância entre eles, que será indicada por dAB, é a medida do segmento de extremidades A e B.
dAB distância entre os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) depende das coordenadas dos mesmos, e é determinado através do Teorema de Pitágoras. Veja:
EXERCÍCIOS
03. Calcule a distância entre os pontos dados:
a) A(3, 7) e B(– 1, 4)
b) P(3, – 1) e Q(3, 2)
c) A(0, – 2) e B( 5 ,– 4)
Resolução:
04. Determinar o perímetro do triângulo cujos vértices A, B e C têm as seguintes coordenadas: A(1, 5), B(–2, 1) e C(4, 1).
Resolução:
p=5+5+6= 16
05 Sabendo que o ponto P pertence ao eixo das abscissas (Ox) e está eqüidistante dos pontos A(4, 2) e B(8, –2), determinar suas coordenadas.
Resolução:
O ponto P tem coordenadas(6;0)
06. Na figura abaixo os pontos A, B, C e D representam a localização de quatro alunos do 2ª EM A : Danilo, Diego, Sayuri e Vitor respectivamente, onde suas distâncias são medidas em metros. Nessas condições, determine a distância entre Sayuri e Vitor. Sabendo-se que Sayuri está eqüidistante de Danilo e Diego.
Resolução:
A distância entre os pontos C(-4;0) e D(0;0) pode ser determinada por:
AULA 35 – COORDENADAS DO PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO.
Dado um segmento de reta AB tal que A(x1, y1) e B(x2, y2) são pontos distintos, temos um ponto M(xM, yM) médio do segmento.
As coordenadas do ponto médio são dadas por:
COORDENADAS DO BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO
Em triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) no plano cartesiano, as coordenadas do baricentro, xG e yG, são:
EXERCÍCIOS
07. Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento AB, em cada caso:
a) A(2,1) e B(0, 6)
b) A(5, 6) e B(- 6, - 8)
c) A(7, -1) e B(4, -4)
Resolução:
08. Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(– 2, – 2). Sabendo-se que M(3, – 2) é o ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B(x, y), que é a outra extremidade do segmento.
Resolução:
09. Determine as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, sendo A(5, 2), B(1, -2) e C(4, 5).
Resolução:
AULA 36 – CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Dados três pontos no plano cartesiano A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), podemos verificar se os mesmos estão alinhados através do seguinte determinante:
• Se Δ = 0, então os pontos estão alinhados;
• Se Δ ≠ 0, então os pontos não estão alinhados. Quando os pontos não estão alinhados eles formam um triângulo.
EXERCÍCIOS
10. Verifique se os pontos, dados abaixo, estão alinhados:
a) A(– 1, 3); B(2, 4) e C(– 4, 10)
Resolução:
b) A(0, 2); B(– 3, 1) e C(4, 5)
Resolução:
11. (PUC-MG) Calcule o valor de t sabendo que os pontos , e C(−1, 6) são colineares.
Resolução:
AULA 36 –ÁREA DE UM TRIÂNGULO
Podemos determinar a área de uma região triangular utilizando apenas as coordenadas dos vértices do triângulo.
A área do triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) é dado por:
ÁREA DE UM POLÍGONO CONVEXO
A área de um polígono convexo qualquer pode ser obtida dividindo-o em triângulos distintos e, a seguir calculando-se a soma das áreas desses triângulos.
EXERCÍCIOS
12.Determine a área da região triangular cujos vértices são os pontos A(1, 2); B(– 2, 4) e C(4, – 2).
Resolução:
13.Calcule a área do triângulo da figura:
Resolução:
14.Determine o valor de x para que os pontos A(2,- 3), B(x, 7) e C(x, 1) sejam:
a) Colineares
Resolução:
b) os vértices de um triângulo.
Resolução:
Para que sejam os vértices de um triângulo o determinante deve ser diferente de 0, sendo assim x ≠ 2.
15.O terreno do Sr. Ivo tem a forma triangular, e seus vértices no sistema cartesiano são dados pelos pontos P(2 ,6), Q(-3, 9) e W(0, 10). Sabendo que as medidas do terreno são em metros e o metro quadrado do terreno custa R$ 12,00. Qual o preço do terreno?
Resolução:
16. Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a, 0). Determine o valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área.
Resolução:
A área S1 do quadrilátero ABCD
A área S2 do triângulo CHB é:
Se a cerca reta perpendicular ao lado AB divide ABCD em dois lotes de áreas iguais, então a cerca reta está à direita do ponto C e origina dois lotes de área 4 cada um, conforme a figura:
A área do triângulo isósceles EPB é 4.Logo
AULA 37- EQUAÇÃO GERAL DA RETA.
Podemos calcular a equação de uma reta partindo de dois de seus pontos e utilizando a condição de alinhamento de três pontos vista anteriormente.
Portanto, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) com coordenadas conhecidas e um terceiro ponto P(x,y) genérico, temos:
Desenvolvendo este dispositivo, temos a equação geral da reta da forma:
ax +by+c = 0
EXERCÍCIOS
17. (Fuvest-SP) Dados os pontos A(2, 3) e B(8, 5), determine a equação da reta que passa por eles.
Resolução:
18.. (Mack-SP) Qual a equação da reta r da figura?
Resolução:
19.Se um triângulo tem como vértices os pontos A(2, 3); B(4, 1) e C(6, 7), determine uma equação geral da reta suporte da mediana relativa ao lado .
Resolução:
20. Uma formiga se desloca num plano, ao longo de uma reta. Passa pelo ponto (1, –2) e percorre a menor distância até interceptar a trajetória retilínea de outra formiga, nesse mesmo plano, descrita pela equação y + 2x = 8.
Determine a equação da reta que representa a trajetória da primeira formiga .
Resolução:
A menor distância entre um ponto e uma reta está sobre a perpendicular a esta reta que passa pelo ponto. O coeficiente angular de ma reta perpendicular a outra reta de coeficiente angular m, é -1/m. Assim:
y=-2x+8.....m=-2
então a reta perpendicular deve ter coeficiente angular igual a :
-1/m=1/2
Reta que passa por (1,-2) com coef ang igual ½:
Exercícios Resolvidos
Aula 34 – Ex. 03 e 04 – ág 04
03) Determinar o ponto P do eixo das abcissas, eqüidistante dos pontos A(6;5) e B(-2;3)
04) dados A(x;6); B(-1;4) e C(5;2) determinar o valor de x de modo que o triângulo ABC seja isósceles de base BC.
Aula 35 – Ex. 05 – ág 06
05) Determine a medida da mediana relativa ao vértice A do triângulo ABC , sendo A(4;6), B(5;1) e C(1;3).
Aula 36 – Ex. 03, 04 e 05 – ág 07
03) Dados A(x;2), B(3;1) e C(-1; -2), determinar o valor de x, sabendo que a área do triângulo ABC é igual a 4.
04)Verificar se os pontos a(-2;-3), B(1;2) e C(5;4) estão alinhados.
05) Para que valores de m, os pontos A(0;m), B(-2;4) e C(1; -3) estão alinhados?
EXERCICIOS DE SALA DE AULA AVALIATIVOS
1) Dados os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), vamos determinar se estão alinhados.
2) Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é :
a) 4
b) 3
c) 3,5
d) 4,5
e) 2
3) Verifique se os pontos, dados abaixo, estão alinhados:
a) A(– 1, 3); B(2, 4) e C(– 4, 10)
4) Verifique se os pontos, dados abaixo, estão alinhados:
a) A(– 1, 3); B(2, 4) e C(– 4, 10)
5) Calcule a distância entre os pontos dados:
a) A(3, 7) e B(– 1, 4)
b) P(3, – 1) e Q(3, 2)
c) A(0, – 2) e B( 5 ,– 4)
6) Determinar o perímetro do triângulo cujos vértices A, B e C têm as seguintes coordenadas: A(1, 5), B(–2, 1) e C(4, 1).
7) Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento AB, em cada caso:
a) A(2,1) e B(0, 6)
b) A(5, 6) e B(- 6, - 8)
c) A(7, -1) e B(4, -4)
2) Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é :
a) 4
b) 3
c) 3,5
d) 4,5
e) 2
3) Verifique se os pontos, dados abaixo, estão alinhados:
a) A(– 1, 3); B(2, 4) e C(– 4, 10)
4) Verifique se os pontos, dados abaixo, estão alinhados:
a) A(– 1, 3); B(2, 4) e C(– 4, 10)
5) Calcule a distância entre os pontos dados:
a) A(3, 7) e B(– 1, 4)
b) P(3, – 1) e Q(3, 2)
c) A(0, – 2) e B( 5 ,– 4)
6) Determinar o perímetro do triângulo cujos vértices A, B e C têm as seguintes coordenadas: A(1, 5), B(–2, 1) e C(4, 1).
7) Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento AB, em cada caso:
a) A(2,1) e B(0, 6)
b) A(5, 6) e B(- 6, - 8)
c) A(7, -1) e B(4, -4)
quarta-feira, 25 de agosto de 2010
GEOMETRIA ANALÍTICA: RETA
O estudo da reta r, na geometria analítica não está relacionado apenas a escrita das equações das retas bem como a posição entre ponto e reta e entre duas retas. A equação da reta r mais importante é a geral:
ax + by + c = 0, com a; b pertence a R e diferente de zero.
Para verificar se um ponto P(x,y) pertence à reta r, substituímos as coordenadas do ponto P na equação da reta r. Se a sentença obtida for verdadeira, então o ponto pertence à reta, caso contrário, P não pertence à r.
Da equação geral da reta ax + by + c = 0, obtemos a equação reduzida da reta
y =-ax/b - c/b y = m x + n
onde m é o coeficiente angular, dado por m = -a/b e n coeficiente linear, n = -c/b.
☺ A equação y – yo = m (x – xo) onde (xo ; yo) é um ponto conhecido e m é o coeficiente angular da reta, é chamada equação fundamental da reta.
Se duas retas são paralelas, isto é, r // s seus coeficientes angulares são iguais, então mr = ms. Para retas concorrentes, isto é, r × s; o produto de seus coeficientes angulares é igual a –1, e indicamos por:
mr . ms = –1.
Duas retas concorrentes em especial são ditas perpendiculares.
Temos o ponto A(1 ; 2 ) e o coeficiente angular. Escrevemos a equação fundamental da reta, substituindo as coordenadas, obtemos:
y – 2 =2/3(x – 1)
y – 2 = 2/3x - 2/3
3y – 6 = 2(x – 1)
3y – 6 = 2x – 2
A reta pedida é (r) 2x – 3y + 4 = 0.
1) Dada a equação da reta r: x + y – 1 = 0 e as afirmações:
I – o ponto (1,1) pertence a r
II – a reta passa na origem do sistema cartesiano
III – o coeficiente angular de r é –1
IV – r intercepta a reta s: x + y – 2 = 0 no ponto P(1,2)
a) apenas I é verdadeira b) apenas III é verdadeira
c) nenhuma é falsa d) apenas I é falsa e) n.d.a
2) Obtenha a equação da reta (s ) que é paralela a reta ( r ) – x + 2y – 2 = 0 e passa pelo ponto P(– 2;3).
3) Determinar a equação geral da reta ( r ) perpendicular à (s) 3x – y + 6 = 0 passando pelo ponto A(4 ; 2).
4) Considere as retas (r ) y = 2x – 3 e (s ) 3x – y – 2 = 0. É verdadeira a afirmação:
a) r e s são paralelas b) r é perpendicular a s
c) r e s são coincidentes d) r e s se interceptam na origem e) n.d.a
5) O coeficiente linear de uma reta perpendicular à reta y = 1/2x + 2 é:
a) –2 b) 0 c) 2 d) 4 e) n.d.a
ax + by + c = 0, com a; b pertence a R e diferente de zero.
Para verificar se um ponto P(x,y) pertence à reta r, substituímos as coordenadas do ponto P na equação da reta r. Se a sentença obtida for verdadeira, então o ponto pertence à reta, caso contrário, P não pertence à r.
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA R
Da equação geral da reta ax + by + c = 0, obtemos a equação reduzida da reta
y =-ax/b - c/b y = m x + n
onde m é o coeficiente angular, dado por m = -a/b e n coeficiente linear, n = -c/b.
☺ A equação y – yo = m (x – xo) onde (xo ; yo) é um ponto conhecido e m é o coeficiente angular da reta, é chamada equação fundamental da reta.
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS
Se duas retas são paralelas, isto é, r // s seus coeficientes angulares são iguais, então mr = ms. Para retas concorrentes, isto é, r × s; o produto de seus coeficientes angulares é igual a –1, e indicamos por:
mr . ms = –1.
Duas retas concorrentes em especial são ditas perpendiculares.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Escreva a equação da reta r que passa pelo ponto A(1 ; 2) e tem coeficiente angular m = 2/3.Temos o ponto A(1 ; 2 ) e o coeficiente angular. Escrevemos a equação fundamental da reta, substituindo as coordenadas, obtemos:
y – 2 =2/3(x – 1)
y – 2 = 2/3x - 2/3
3y – 6 = 2(x – 1)
3y – 6 = 2x – 2
A reta pedida é (r) 2x – 3y + 4 = 0.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Dada a equação da reta r: x + y – 1 = 0 e as afirmações:
I – o ponto (1,1) pertence a r
II – a reta passa na origem do sistema cartesiano
III – o coeficiente angular de r é –1
IV – r intercepta a reta s: x + y – 2 = 0 no ponto P(1,2)
a) apenas I é verdadeira b) apenas III é verdadeira
c) nenhuma é falsa d) apenas I é falsa e) n.d.a
2) Obtenha a equação da reta (s ) que é paralela a reta ( r ) – x + 2y – 2 = 0 e passa pelo ponto P(– 2;3).
3) Determinar a equação geral da reta ( r ) perpendicular à (s) 3x – y + 6 = 0 passando pelo ponto A(4 ; 2).
4) Considere as retas (r ) y = 2x – 3 e (s ) 3x – y – 2 = 0. É verdadeira a afirmação:
a) r e s são paralelas b) r é perpendicular a s
c) r e s são coincidentes d) r e s se interceptam na origem e) n.d.a
5) O coeficiente linear de uma reta perpendicular à reta y = 1/2x + 2 é:
a) –2 b) 0 c) 2 d) 4 e) n.d.a
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