segunda-feira, 13 de setembro de 2010
sexta-feira, 3 de setembro de 2010
terça-feira, 31 de agosto de 2010
EXERCICIOS DE SALA DE AULA GEOMETRIA ANALITICA
ESCOLA ESTADUAL:__________________________________
ÁREA DE CONHECIMENTO: MATEMÁTICA
PROFº : José Carlos Costa da Rosa DATA_____/____
NOME_________________________No__ 3o A Matutino
1. Dados A ( – 1, 2 ) , B ( 4 , 2 ) e C ( 4 , 4 ) , pede-se:
a) as coordenadas do baricentro
b) Verificar se os pontos estão alinhados
c) Classificar quantos aos lados o triângulo que apresenta os pontos A , B e C, como vértice .
d)Determine o perímetro do triângulo.
e) Determine a equação geral da reta dos A e B, B e C e A e C
f) Determine as equações reduzidas das reta do item anterior
2. Determinar o perímetro de um triângulo de vértices A ( 6; 5 ) B ( 3 ; 2 ) e C ( 4 ; 7 ).
3.Conhecendo – se a equação geral da reta (r) 3x - 6y - 15 = 0, obter.:
a) a equação reduzida
b) o coeficiente linear
c) o coeficiente angular
4. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, conhecendo –se:
a) A(3,5) e B(-1,3)
b) A(0,-4) e B(5,1)
5.Conhecendo – se a equação geral da reta (r) -2x - 6y - 14 = 0, obter.:
a) a equação reduzida
b) o coeficiente linear
c) o coeficiente angular
ÁREA DE CONHECIMENTO: MATEMÁTICA
PROFº : José Carlos Costa da Rosa DATA_____/____
NOME_________________________No__ 3o A Matutino
1. Dados A ( – 1, 2 ) , B ( 4 , 2 ) e C ( 4 , 4 ) , pede-se:
a) as coordenadas do baricentro
b) Verificar se os pontos estão alinhados
c) Classificar quantos aos lados o triângulo que apresenta os pontos A , B e C, como vértice .
d)Determine o perímetro do triângulo.
e) Determine a equação geral da reta dos A e B, B e C e A e C
f) Determine as equações reduzidas das reta do item anterior
2. Determinar o perímetro de um triângulo de vértices A ( 6; 5 ) B ( 3 ; 2 ) e C ( 4 ; 7 ).
3.Conhecendo – se a equação geral da reta (r) 3x - 6y - 15 = 0, obter.:
a) a equação reduzida
b) o coeficiente linear
c) o coeficiente angular
4. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, conhecendo –se:
a) A(3,5) e B(-1,3)
b) A(0,-4) e B(5,1)
5.Conhecendo – se a equação geral da reta (r) -2x - 6y - 14 = 0, obter.:
a) a equação reduzida
b) o coeficiente linear
c) o coeficiente angular
FUNÇÃO EXPONENCIAL II
Henry Briggs
Henry Briggs, nasceu em 1561, perto de Halifax. Estudou na Universidade de Cambrige e formou-se em1581. Continuou a estudar e obteve o doutoramento em 1588.
Foi professor, da disciplina de geometria, na Universidade de Saint-Andrews e mais tarde em Oxford. Nesta última, iniciou as lições com a nona proposição do primeiro livro de Euclides.
Dados os precedentes da Universidade de Oxford, encontrou-se ligado à astronomia e à trigonometria esférica.
Foi o primeiro a reconhecer a importância da invenção dos logaritmos por Napier, tendo estabelecido contacto com o mesmo para uma troca de ideias. Depois de John Napier morrer, continuou a estudar os logaritmos e a desenvolver esta teoria, fazendo muitas aplicações na área da astronomia.
Em 1617, publicou um livro intitulado "Logarithmorum chilias prima" e seis anos mais tarde publicou "Arithmetica Logarithmica".
Em paralelo a estes estudos continuou a leccionar geometria até à sua morte a 26 de janeiro de 1631.
Henry Briggs, nasceu em 1561, perto de Halifax. Estudou na Universidade de Cambrige e formou-se em1581. Continuou a estudar e obteve o doutoramento em 1588.
Foi professor, da disciplina de geometria, na Universidade de Saint-Andrews e mais tarde em Oxford. Nesta última, iniciou as lições com a nona proposição do primeiro livro de Euclides.
Dados os precedentes da Universidade de Oxford, encontrou-se ligado à astronomia e à trigonometria esférica.
Foi o primeiro a reconhecer a importância da invenção dos logaritmos por Napier, tendo estabelecido contacto com o mesmo para uma troca de ideias. Depois de John Napier morrer, continuou a estudar os logaritmos e a desenvolver esta teoria, fazendo muitas aplicações na área da astronomia.
Em 1617, publicou um livro intitulado "Logarithmorum chilias prima" e seis anos mais tarde publicou "Arithmetica Logarithmica".
Em paralelo a estes estudos continuou a leccionar geometria até à sua morte a 26 de janeiro de 1631.
FUNÇÃO EXPONENCIAL
John Napier
John Napier (Edimburgo, 1550 – 4 de abril de 1617) foi também matemático, astrólogo e teólogo escocês.
Ele é mais conhecido como o descodificador do logaritmo natural (ou neperiano) e por ter popularizado o ponto decimal. Na decodoficação dos logaritmos naturais, Napier usou uma constante que, embora não a tenha descrito, foi a primeira referência ao notável "e", descrito quase 100 anos depois por Leonhard Euler e que se tornou conhecido como número de Euler ou número de Napier.
Originário de uma família rica, ele mesmo barão de Merchiston, era um defensor da reforma protestante, tendo mesmo prevenido o rei James VI da Escócia contra os interesses do rei católico Felipe II de Espanha. Filho de Archibald Napier, Master of the Mint, John Napier nasceu em Merchiston Tower, perto de Edinburgo, em 1550. A maior parte das terras da família Napier ficaram sob os cuidados de John, que construiu para si um castelo, no qual ele e sua família fixaram residência.
Ingressou aos 13 anos na Universidade de Saint Andrews e interessou-se por teologia e aritmética. Sua única obra de teologia, escrita em 1594, ocupa lugar de destaque na história eclesiástica escocesa. Napier também se dedicou à invenção de artefatos secretos de guerra, inclusive uma peça de artilharia de longo alcance, que ficaram apenas no papel. Foi como matemático, porém, que Napier mais se destacou. Sua mais notável realização foi a descoberta dos logaritmos, artifício que simplificou os cálculos aritméticos e assentou as bases para a formulação de princípios fundamentais da análise combinatória.
Está enterrado na igreja de Saint Cuthbert, em Edimburgo. Uma unidade utilizada em telecomunicações, o neper, tem este nome em sua homenagem.
No início do século XVII, inventou um dispositivo chamado Ossos de Napier que são tabelas de multiplicação gravadas em bastão, permitindo multiplicar e dividir de forma automática, o que evitava a memorização da tabuada, e que trouxe grande auxílio ao uso de logaritmos, em execução de operações aritméticas como multiplicações e divisões longas.
Idealizou também um calculador com cartões que permitia a realização de multiplicações, que recebeu o nome de Estruturas de Napier.
John Napier (Edimburgo, 1550 – 4 de abril de 1617) foi também matemático, astrólogo e teólogo escocês.
Ele é mais conhecido como o descodificador do logaritmo natural (ou neperiano) e por ter popularizado o ponto decimal. Na decodoficação dos logaritmos naturais, Napier usou uma constante que, embora não a tenha descrito, foi a primeira referência ao notável "e", descrito quase 100 anos depois por Leonhard Euler e que se tornou conhecido como número de Euler ou número de Napier.
Originário de uma família rica, ele mesmo barão de Merchiston, era um defensor da reforma protestante, tendo mesmo prevenido o rei James VI da Escócia contra os interesses do rei católico Felipe II de Espanha. Filho de Archibald Napier, Master of the Mint, John Napier nasceu em Merchiston Tower, perto de Edinburgo, em 1550. A maior parte das terras da família Napier ficaram sob os cuidados de John, que construiu para si um castelo, no qual ele e sua família fixaram residência.
Ingressou aos 13 anos na Universidade de Saint Andrews e interessou-se por teologia e aritmética. Sua única obra de teologia, escrita em 1594, ocupa lugar de destaque na história eclesiástica escocesa. Napier também se dedicou à invenção de artefatos secretos de guerra, inclusive uma peça de artilharia de longo alcance, que ficaram apenas no papel. Foi como matemático, porém, que Napier mais se destacou. Sua mais notável realização foi a descoberta dos logaritmos, artifício que simplificou os cálculos aritméticos e assentou as bases para a formulação de princípios fundamentais da análise combinatória.
Está enterrado na igreja de Saint Cuthbert, em Edimburgo. Uma unidade utilizada em telecomunicações, o neper, tem este nome em sua homenagem.
No início do século XVII, inventou um dispositivo chamado Ossos de Napier que são tabelas de multiplicação gravadas em bastão, permitindo multiplicar e dividir de forma automática, o que evitava a memorização da tabuada, e que trouxe grande auxílio ao uso de logaritmos, em execução de operações aritméticas como multiplicações e divisões longas.
Idealizou também um calculador com cartões que permitia a realização de multiplicações, que recebeu o nome de Estruturas de Napier.
Surgimento da Teoria das matrizes
1.- Curiosidades em torno do nome matriz
O pai do nome matriz
Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e sairam da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826 : tableau ( = tabela ).
O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade.
Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes ?
Usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja: local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar varios sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolhar à vontade p linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363-370 ).
Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância.
2.- Surgimento dos primeiros resultados da Teoria das Matrizes
Costuma-se dizer que um primeiro curso de Teoria das Matrizes - ou de sua versão mais abstrata, a Algebra Linear - deve ir no mínimo até o Teorema Espectral. Pois bem, esse teorema e toda uma série de resultados auxiliares já eram conhecidos antes de Cayley iniciar a estudar as matrizes como uma classe notável de objetos matemáticos.
Como se explica isso? Esses resultados, bem como a maioria dos resultados básicos da Teoria da Matrizes, foram descobertos quando os matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, consideramos imprescindível estudar essas formas através da notacão e metodologia matricial, mas naquela época elas eram tratadas escalarmente.
Mostremos aqui a representação de uma forma quadrática de duas variáveis, tanto via notação escalar como com a mais moderna notação matricial:
q( x , y ) = a x 2 + 2b x y + c y 2 = x y . a b . x
b c y
O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange c. 1790 reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Sempre trabalhando escalarmente, ele chegou à uma conclusão que hoje expressamos em termos de matriz positiva definida. Após Lagrange, já no século XIX, a Teoria das Formas Quadráticas chegou a ser um dos assuntos mais importantes em termos de pesquisas, principalmente no que toca ao estudo de seus invariantes. Essas investigações tiveram como subproduto a descoberta de uma grande quantidade de resultados e conceitos básicos de matrizes.
Assim que podemos dizer que a Teoria das Matrizes teve como mãe a Teoria das Formas Quadráticas, pois que seus métodos e resultados básicos foram lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes.
Observemos, ademais, que os determinantes em nada contribuiram para o desenvolvimento da Teoria das Matrizes.
O pai do nome matriz
Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e sairam da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826 : tableau ( = tabela ).
O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade.
Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes ?
Usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja: local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar varios sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolhar à vontade p linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363-370 ).
Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância.
2.- Surgimento dos primeiros resultados da Teoria das Matrizes
Costuma-se dizer que um primeiro curso de Teoria das Matrizes - ou de sua versão mais abstrata, a Algebra Linear - deve ir no mínimo até o Teorema Espectral. Pois bem, esse teorema e toda uma série de resultados auxiliares já eram conhecidos antes de Cayley iniciar a estudar as matrizes como uma classe notável de objetos matemáticos.
Como se explica isso? Esses resultados, bem como a maioria dos resultados básicos da Teoria da Matrizes, foram descobertos quando os matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram a investigar a Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, consideramos imprescindível estudar essas formas através da notacão e metodologia matricial, mas naquela época elas eram tratadas escalarmente.
Mostremos aqui a representação de uma forma quadrática de duas variáveis, tanto via notação escalar como com a mais moderna notação matricial:
q( x , y ) = a x 2 + 2b x y + c y 2 = x y . a b . x
b c y
O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange c. 1790 reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Sempre trabalhando escalarmente, ele chegou à uma conclusão que hoje expressamos em termos de matriz positiva definida. Após Lagrange, já no século XIX, a Teoria das Formas Quadráticas chegou a ser um dos assuntos mais importantes em termos de pesquisas, principalmente no que toca ao estudo de seus invariantes. Essas investigações tiveram como subproduto a descoberta de uma grande quantidade de resultados e conceitos básicos de matrizes.
Assim que podemos dizer que a Teoria das Matrizes teve como mãe a Teoria das Formas Quadráticas, pois que seus métodos e resultados básicos foram lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes.
Observemos, ademais, que os determinantes em nada contribuiram para o desenvolvimento da Teoria das Matrizes.
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